…every sufficiently good analogy is yearning to become a functor.
John Baez,
“Quantum Quandaries: A Category-Theoretic Perspective”
1、初识行列式
如果我们随机在大街上找到一个学过线性代数的大学生问“你知道行列式是什么吗？”若是十分凑巧，刚好碰上一个考完线性代数考试没多久的，那他一般会告诉你行列式是一个数表在左右各加上一个竖线，然后告诉你如何计算二阶和三阶的情况。若是一个线性代数学的比较好的，那他可能会告诉你书本上的定义：
设有矩阵$ \mathbf{A} := (a_{ij})_{n \times n} $, 它的行列式为
$$\begin{equation} \operatorname{det}\mathbf{A} = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_{n} }\operatorname{sgn}(\sigma)a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{n,\sigma(n)}.\end{equation}$$
不过对于多数人来说，想要理解如此神秘的定义总是很困难的，即使是在同济大学出版社的经典教材《工程数学：线性代数》中，这样的定义也不过是在“假装”很明白地通过与二阶行列式和三阶行列式的类比来给出，实际上读者并不能真正理解行列式的意味。
不过不可否定的是，如此的定义对于行列式的相关性质的证明是方便的，具体的显式定义方便我们对于很多基本的性质给出证明，并且证明本身不难理解，也不抽象。但可惜的是，如此浅薄的理解并不能帮我们了解到行列式的重要性，因为除了用来判断线性方程组的解的情况，我们还有很多其他的地方会体现行列式的重要性，并且我们也能以此理解行列式的概念究竟是如何诞生的。
2、行列式的早期历史
令人吃惊的事情是，实际上行列式的概念要比矩阵更早出现，即使在这时，数学家们或许并未完全明白为何会在数学研究中诞生出如此概念。对笔者而言，或许用范畴论的语言可以解释一番，但这是之后才会涉及的内容。
目前通常认为，历史上最早提出行列式概念的应是日本数学家关孝和(Seki Takakazu, 1683)和欧洲数学家莱布尼兹(Leibniz, 1693)，虽然时隔10年，但根据考察，他们应该是各自独立给出了这个概念，并且都是为了求解线性方程组。
到了1750年，数学家克莱默(Cramer)提出克莱默法则，通过行列式给出了解线性方程组的一个通用解法，于是在这之后，许多数学家都重点研究如何计算一个特定的行列式，所谓的按行（列）展开，范德蒙德(Vandermonde)行列式等特殊的计算方法和行列式都是在那时被研究出来的。
不过我们现在看到的，通过逆序数等概念去定义的行列式的概念是由柯西(Cauthy)——对，就是学微积分的时候经常看到的那个柯西——提出的。基于一个完善的概念，柯西将前人的研究成果都用他所提出的定义统一了起来，行列式终于从一个“计算方法”变成了一个“数学对象”。
形式化或是抽象化的数学概念，可以帮助我们去尽可能的了解数学对象的本质，即这个东西是这样且仅是这样。当然也有人认为一些形式化或抽象化数学后所得到的顿悟感只是某种心理错觉，笔者只是觉得有比没有好。
与此同时，与行列式总是联系在一起的矩阵的概念直到1850年左右才被Sylvester所提出。随后由Cayley给出了矩阵的基本运算，并在Frobenius关于二次型的研究中，被正式地作为代数对象进行研究。
但是与矩阵类似的概念早就存在了，只是我们现在使用的“矩阵”的概念以及记号是被Sylvester提出的，即这时“矩阵”才正式地成为数学所研究的对象。
但直到此时，我们仍然只见到行列式对于解线性方程组的作用，接下来我们将结合古典的代数与几何的语言，从线性方程组可以在数学上被如何理解的角度，去重新理解行列式的概念是如何产生的，特别是其为何是以符号交错——即总是正负正负这样的——形式出现的。最后如果有机会，笔者会用一些范畴论的语言，以更加形式化的方式去讲述一下行列式的概念。
3、几何动机：有向面积、体积
高中时，我们便已经接触过向量，空间，几何物体等概念。在我们最熟悉的$\mathbb{R}^2$中，给定二维列向量$u_1$和$u_2$后，我们可以通过下面的定义去描述这两个向量在平面上对应的平行四边形，这也是最简单的代数与几何之间的对应：
$$\begin{equation}\Diamond(u_1,u_2):= \{t_1u_1+t_2u_2:t_1,t_2\in [0,1]\}\end{equation}$$.
虽然在高中时我们总是默认取标准正交基作为$\mathbb{R}^2$的基，并以此写下向量的坐标进行运算，但我们不得不承认，很多结论并不依赖于坐标的选取，亦即无论选什么向量组做基（前提是确实是一组基），这个结论都是对的。
这时我们不妨先默认取标准正交基，即$e_1=(1,0)^{T}$和$e_2=(0,1)^{T}$，于是我们写出此时（假设我们已知）$u_1,u_2$的坐标:
$$\begin{equation}\begin{split}u_1 &= (a_{11},a_{21}) \\ u_2 &= (a_{12},a_{22}) \\ \end{split}\end{equation}$$.
从平面几何的基本知识不难知，这个平行四边形的面积大小是
$$\begin{equation}\lvert a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\rvert\end{equation}$$.
不难发现，面积大小即$\lvert \, \lvert u_1\rvert \cdot \lvert u_2\rvert\sin\theta \, \rvert$，其中$\theta$是两向量的夹角，此时将两个平面向量看成是第三个坐标都为$0$的立体向量，计算向量的叉积即得面积大小的坐标表达式。
但是如果我们不加入绝对值符号，其实也不影响什么，因为出现的正负号我们可以理解成“方向”。
如此看来我们可以将行列式理解为一种“函数”，它给出了空间中一个几何对象的某种信息，一种我们目前称之为“面积”的信息。比如说，在之前的二维空间中，我们实际上用平行四边形的面积给出了向量组$(u_1,u_2)$的一种信息。
于是我们自然就可以开始思考，那这个“行列式”应该是一种怎么样的函数呢？所以我们自然地思考出如下性质：
行列式$D$是一个从空间$V^n$映射到实数域$\mathbb{R}$上的一个函数，并且满足
1、$D(u_1,u_2,\ldots,t\cdot u_k,\ldots,u_n) = t\cdot D(u_1,u_2,\ldots,u_k,\ldots,u_n)$，即单独将其中一个向量伸缩$t$倍之后，函数值也变化$t$倍。
2、若向量组中存在$i\neq j$使得$u_i = u_j$，则有$D(u_1,u_2,\ldots,u_n) = 0$，即在几何直观上，此时图形上有两条边重合在一起，使得图形失去了他的面积。
3、这个函数应该有线性的加法，即
$$\begin{equation}D(u_1,\ldots,u_i+u,\ldots,u_n) = D(u_1,\ldots,u_i,\ldots,u_n)+D(u_1,\ldots,u,\ldots,u_n).\end{equation}$$
在几何直观上，我们可以理解成，将两个图形的某条边都沿着相同的方向分解之后，沿着这个方向将对应的边直接加在一起，因为平移不改变面积，所以得到的新的图形的面积和原来两个面积的和是一样大的。
终于，我们成功的从几何的角度观测到了“行列式”，但我们若仔细思考一番，便不难发现其实距离我们学过的朴素的行列式仍有所差距。比方说，我们现在所考虑的函数$D$并不是唯一确定的，但我们通常计算一个数表，或是说矩阵的行列式给出的值都是确定的，甚至说，我们还不清楚函数$D$有多少种可能，所以我们需要对这种函数进行研究，事实上，我们一般称满足以上性质的函数为“交错形式”。
4、从交错形式到行列式
取定一个数域$\mathbb{F}$，比如我们最熟悉的实数域$\mathbb{R}$，然后取一个这个数域上的向量空间$V$，我们通常最熟悉的应该是$\mathbb{R}^n$，这实际上就是$n$维的$\mathbb{R}$上的取定单位正交基的向量空间。此时我们可以定义一类的函数：
对任取的$m\in \mathbb{Z}_{\geq 1}$，记
$$\begin{equation}\mathcal{D}_{V,m} := \{D : V^m \to F \},\end{equation}$$
其中$D$是满足前一节的三个性质的映射。我们称$\mathcal{D}_{V,m}$里的元素为$V$上的$m$元交错形式。
既然我们希望研究这个交错形式，那自然的就会考虑它的特殊的取值，比如“$0$”和“$1$”上的取值，不过交错形式在“$0$”的取值是平凡的，由性质我们自然知道这个值是$0$。不过与此同时，我们需要考虑这里说的“$1$”是什么，最直接的考虑自然是一组单位正交基，最简单的情况自然是$(1,0,0)^{T},(0,1,0)^{T},(0,0,1)^{T}$这个标准正交基（如果我们假定是三维空间）。
实际上，对给定的$m\in \mathbb{Z}_{\geq 1}$, $\mathcal{D}_{V,m}$实际上构成了一个$\mathbb{F}$-向量空间，具体证明不难，留给读者练习。
如此一来我们便思考一般的函数值$D(v_1,\ldots,v_n)$与$D(e_1,\ldots,e_n)$的关系，这里$e_1,\ldots,e_n$是标准正交基。不难注意到，如果在一般的函数值里，$v_1$与$e_1$线性无关的话，那想利用交错形式的性质将$v_1$变成$e_1$的话，会略有麻烦，因此我们先证明一个简单的命题，这也将引入对换与置换的概念。
4.1、置换
给定$2$元交错形式$D$，有等式
$$D(v_1,v_2) = -D(v_2,v_1)$$
成立。
既然我们目前对于交错形式只知其线性性，即对变元的加法和数乘，所以我们考虑性质的证明依赖于通过加法来使得需要证明的东西为$0$，于是我们计算
$$\begin{split} D(v_1,v_2) + D(v_2,v_1) &= D(v_1,v_2) + 0 + D(v_2, v_1) + 0 \\ &= D(v_1,v_2) + D(v_1,v_1) + D(v_2,v_1) + D(v_2,v_2) \\ &= D(v_1,v_1+v_2) + D(v_2,v_1+v_2) \\ &= D(v_1+v_2,v_1+v_2) = 0. \end{split}$$
证毕。
既然交换变量会对交错形式产生影响，那我们必然需要一些规范统一的记号去表示“交换变量”这种事情，幸好，我们在高中时便已经学过初步（且够用）的集合论，利用集合论的语言我们给出如下定义：
设$X$为非空集合，我们称双射$X\to X$为$X$上的置换，并且这些置换构成集合
$$\mathfrak{S}_{X} := \{\sigma:X\to X \mid \sigma \text{是双射} \}. $$
若取正整数$n\in \mathbb{Z}_{\geq 1}$且$X = \{1,2,\ldots,n\}$, 此时也将对应的置换集记为$\mathfrak{S}_{n}$.
既然我们是研究$n$个变量之间的“交换”，自然只需关注$X = \{1,2,\ldots,n\}$时的情况，在这种时候，我们可以将一个置换$\sigma$用如下的$2\times n$矩阵来表示：
$$\begin{pmatrix}1 &2 &\cdots &n \\ \sigma(1) &\sigma(2) &\cdots &\sigma(n) \end{pmatrix}.$$
比如说取集合$X = \{1,2,3\}$时，我们可以用如下矩阵表示$1,3$互相交换但是$2$不变的置换：
$$\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\ 3 &2 &1 \end{pmatrix} .$$
有一类最简单也最常见的置换，即只交换两个元素的位置的置换，当我们选定$n\in \mathbb{Z}_{\geq 1}$时，设$1\leq i \neq j \leq n$, 相应的只交换$i,j$的置换我们称为对换$(i\, j) \in \mathfrak{S}_{n}$, 用矩阵形式可表为
$$\begin{pmatrix}\cdots &i &\cdots &j &\cdots \\ \cdots &j &\cdots &i &\cdots \end{pmatrix}.$$
特别地，我们将对换$(i\, i+1)\in \mathfrak{S}_{n}$称为单对换，在明确知道$1\leq i\leq n-1$的情况下，我们可以将其记为$s_i$.
虽然我们未曾提到矩阵的定义，但是我们只需清楚，这是一个里面全是数字的表格，然后根据具体情况确定这个表格指代了什么即可，毕竟我们未曾用到矩阵乘法等运算。（同时注意，$\mathfrak{S}$是德文尖角体下的大写字母$S$, 这样的记号与绝大多数书籍与文献中的置换集（或是叫做置换群）的记号一致。）
虽然当$n$比较大时，置换集本身会变成一个元素数量非常大的集合（高中的排列组合知识会告诉我们，$\mathfrak{S}_{n}$里有$n!$个元素），但从各种角度上的经验（比如说生活经验？！）告诉我们，一个置换可以分解成一些对换，而事实上，一个置换可以分解成一个固定长度的单对换分解。与此同时，不难注意到当我们对集合$\{1,2,\ldots,n\}$不断进行单对换时，集合在排列顺序上的变化可以明显地与各个数字之间从左到右的大小顺序相联系起来，比如说置换
$$\sigma = \begin{pmatrix}1 &2 &3 &4 &5 &6 \\ 2 &3 &4 & 5 &6 &1\end{pmatrix}$$
很明显可以看作是$1$不断地与右边的数字进行单对换而得到的，即有分解$\sigma = s_{5}s_{4}s_{3}s_{2}s_{1}$. 每次的单对换都影响了从左到右的每两个数字之间的大小关系，这样的观察给出了逆序的概念：
设$\sigma\in \mathfrak{S}_{n}$, 以下集合的元素称为$\sigma$的逆序：
$$\mathrm{Inv}_{\sigma} := \{(i,j)\in \mathbb{Z}^{2} \mid 1\leq i < j\leq n, \sigma(i) > \sigma(j)\}.$$
定义$\sigma$的逆序数为$\ell(\sigma) := \lvert \mathrm{Inv}_{\sigma} \rvert$.
实际上，我们可以证明，一个置换$\sigma$总是可以分解成长度为$\ell(\sigma)$的单对换分解，在证明这个事情之前，我们需要一个引理：
给定置换$\sigma, s\in \mathfrak{S}_{n}$, 如果$s$是单对换，则
$$\ell(\sigma s) – \ell(\sigma) = \pm 1,$$
特别地，这说明了$\ell(\sigma s) \leq \ell(\sigma) + 1$.
不妨设$s=s_{i},1\leq i\leq n-1$, 容易发现，逆序集$\mathrm{Inv}_{\sigma s}$和$\mathrm{Inv}_{\sigma}$只是相差了$(i\, i+1)$这个元素，而这个元素只会出现在$\mathrm{Inv}_{\sigma s}$和$\mathrm{Inv}_{\sigma}$两者中的其中一个，这给出了我们所需的式子。
设$\sigma \in \mathfrak{S}_{n}$, 则存在$\ell\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$和一族单对换$\tau_{1}, \ldots, \tau_{\ell} \in \mathfrak{S}_{n}$使得
$$\sigma = \tau_{1}\cdots \tau_{\ell}.$$
当$\ell = 0$时，我们将右式默认为恒等置换$\mathrm{id}$. 我们称$\ell$为上述分解的长度，而在$\sigma$的所有单对换分解中，最短的可能的长度为$\ell(\sigma)$.
我们采用数学归纳法来证明，首先我们需要证明对所有的$\sigma$, 都有长度不超过$\ell(\sigma)$的单对换分解，然后再证明在这些单对换分解里，$\ell(\sigma)$就是最短的长度。
当$n=1$时，情况时平凡的，即置换集中只有$\mathrm{id}$一种情况，命题是自动成立的。
不妨假设$n\geq 2$且对给定的$n$, $k < n$时的命题已成立。如果$\sigma(1) = 1$, 则$\sigma$实际上可以看作是$\mathfrak{S}_{n-1}$上的置换，于是我们不妨假设$\sigma(1) > 1$, 此时设$i := \sigma^{-1} > 1$, 考虑置换$\sigma^{\prime} := \sigma s_{i-1}$, 于是有
$$\sigma = \begin{pmatrix}\cdots &i-1 &i &\cdots \\ \cdots &\sigma(i-1) &1 &\cdots \end{pmatrix}, \sigma^{\prime} = \begin{pmatrix}\cdots &i-1 &i &\cdots \\ \cdots &1 &\sigma(i-1) &\cdots \end{pmatrix},$$
由此可见，$\sigma^{\prime}$的逆序数至少比$\sigma^{\prime}$的少$1$, 因为$s_{i-1}$至少会让$\sigma^{\prime}$少去$(\sigma(i-1),1)$这个逆序，所以我们有$\ell(\sigma^{\prime}) \leq \ell(\sigma) – 1$, 所以由递归假设，我们有单对换分解$\sigma^{\prime} = \tau_{1} \cdots \tau_{k^{\prime}}$, 并且$k^{\prime}\leq \ell(\sigma^{\prime})$, 于是这给出了一个单对换分解
$$\sigma = \tau_{1}\cdots \tau_{k^{\prime}}s_{i-1}^{-1} = \tau_{1}\cdots \tau_{k^{\prime}}s_{i-1}$$
这个单对换分解的长度为$k^{\prime}+1 \leq \ell(\sigma^{\prime})+1 \leq \ell(\sigma)$, 于是我们得到了长度$\leq \ell(\sigma)$的单对换分解。
接下来证明$\ell(\sigma)$是这样的单对换分解里长度最短的。不妨设有单对换分解$\sigma = \tau_{1}\cdots \tau_{\ell}$, 于是由前面的引理6可得
$$\ell(\sigma) = \ell(\tau_{1}\cdots \tau_{\ell-1}\tau_{\ell}) \leq \ell(\tau_{1}\cdots \tau_{\ell-1}) \leq \cdots \leq \ell(\mathrm{id}) + \ell = \ell$$.
证毕。
既然一个置换可以分解成一些单对换，而一个单对换作用在交错形式$D$的变量上时（即交换了两个相邻的变量），总是改变了一次$D$的正负号，这样的观察给出了一个映射
$$\begin{split}\mathrm{sgn}:\mathfrak{S}_{n} &\to \{\pm 1\} \\ \sigma &\mapsto (-1)^{\ell(\sigma)} \end{split}$$
具体来说就是一次单对换会改变一次正负号，而一个置换总是可以分解成长度为$\ell(\sigma)$的单对换分解，于是分解的长度对应了正负号改变的次数，这便是我们所观察到的映射，实际上，这个映射还有一些特别的性质，并且这样的映射是唯一确定的：
存在唯一的映射$\mathrm{sgn}:\mathfrak{S}_{n}\to \{\pm 1\}$使下列性质成立：
- 对所有的$\sigma,\xi\in \mathfrak{S}_{n}$都有$\mathrm{sgn}(\sigma \xi) = \mathrm{sgn}(\sigma)\mathrm{sgn}(\xi)$,
- 若$\tau\in \mathfrak{S}_{n}$为对换，则$\mathrm{sgn}(\tau) = -1$.
具体地，这样的映射实际上由$\sigma \mapsto (-1)^{\ell(\sigma)}$给出。
由于篇幅限制，证明留给读者练习。
对于置换$\sigma\in \mathfrak{S}_{n}$和它对应的某个长度为$\ell(\sigma)$单对换分解$\sigma = \tau_{1}\cdots \tau_{\ell(\sigma)}$, 我们不难发现，如果我们给出它的其他长度的单对换分解$\tau_{1}\cdots\tau_{\ell}$, 长度$\ell$一定是和$\ell(\sigma)$同奇偶的，即$\ell \equiv \ell(\sigma) \mod 2$, 否则这样的对换分解会给出不同的逆序数，从而矛盾。于是我们可以定义，当$\ell(\sigma) \equiv 0 \mod 2$时，称$\sigma$为偶置换，当$\ell(\sigma) \equiv 1 \mod 2$时，称$\sigma$为奇置换。
具体来说，当$\mathrm{sgn}(\sigma) = 1$时，$\sigma$是偶置换，当$\mathrm{sgn}(\sigma) = -1$时，$\sigma$是奇置换。
奇偶置换的定义可以单纯的对一个置换某个的单对换分解甚至是某个对换分解的长度来定义，因为我们有$\ell \equiv \ell(\sigma) \mod 2$.
终于，利用置换的概念与记号，我们可以有如下的引理来进行交错形式的研究：
设$m\in \mathbb{Z}_{\geq 1},D \in \mathcal{D}_{V,m}$, 而$\sigma \in \mathfrak{S}_{m}$, 则
$$D(v_{\sigma^{-1}(1)},\cdots, v_{\sigma^{-1}(m)}) = \mathrm{sgn}(\sigma)D(v_{1},\cdots,v_{m}).$$
证明本质上和命题3.是类似的，具体留给读者练习。
4.2、一类交错形式的刻画
自然地，我们研究的是有限维$\mathbb{F}$-向量空间$V$上的交错形式。不妨假设$n := \dim V$, 考虑记号
$$\mathcal{D}_{V} := \begin{cases}\mathcal{D}_{V,n}, &n\geq 1, \\ \mathbb{F}, &n = 0.\end{cases}$$
对于$m > n$时的$\mathcal{D}_{V,m}$, 因为超过$n$个的向量组必然是线性相关的，那由交错形式的性质可知，此时交错形式的值总是$0$的，于是实际上所有的$D\in \mathcal{D}_{V,m}$都是$0$映射，即将向量组映射到$0$. 而$m < n$时的$\mathcal{D}_{V,m}$, 既然向量组线性相关性和维数相联系，此时的交错形式必然是较为复杂的，所以我们便将目光放在了$m=n$时的$\mathcal{D}_{V,m}$即$\mathcal{D}_{V}$.
要研究一个具体的向量空间，首先自然是要了解这个空间的维数几何。既然交错形式是一个函数，并且是线性映射，所以我们可以借助空间$V$的一组基来研究：
首先选定$V$的一组基$e_{1},\ldots,e_{n}$, 于是对任意的一组向量$(v_{1},\ldots,v_{n})\in V^{n}$都可以有如下展开
$$v_{i} = \sum_{j=1}^{n}a_{i,j}e_{j}, \quad i = 1,\ldots,n,$$
其中的系数$a_{i,j}\in \mathbb{F}$. 于是对于$D\in \mathcal{D}_{V}$, 我们有
$$\begin{split} D(v_{n},\ldots,v_{n}) &= \sum_{j_{1}=1}^{n}a_{1,j_{1}}D(e_{j_{1}},v_{2},\ldots,v_{n}) \\ &= \sum_{j_{1}=1}^{n}\sum_{j_{2}=1}^{n}a_{1,j_{1}}a_{2,j_{2}}D(e_{j_{1}},e_{j_{2}},v_{3},\ldots,v_{n}) \\ &= \cdots \\ &= \sum_{j_{1}=1}^{n}\cdots\sum_{j_{n}=1}^{n}a_{1,j_{1}}\cdots a_{n,j_{n}}D(e_{j_{1}},\ldots,e_{j_{n}}). \end{split}$$
因为交错形式的性质，当$D$中有变量相同时，给出的值是$0$, 所以上式中每个$D(e_{j_{1}},\ldots,e_{j_{n}})$里的变量是通过$(e_{1},\ldots,e_{n})$的所有排列方式给出的，也就是说，如果我们将这样的排列考虑为一个置换
$$\begin{split}\sigma : \{1,2,\ldots,n\} &\to \{1,2,\ldots,n\} \\ i &\mapsto j_{i},\end{split}$$
于是上式便被改写成
$$D(v_{1},\ldots,v_{n}) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_{n}}a_{1,\sigma(1)}\cdots a_{n,\sigma(n)}D(e_{\sigma(1)},\ldots,e_{\sigma(n)}).$$
而显然的事实是，对于一个置换$\sigma$, 总是有$\mathrm{sgn}(\sigma) = \mathrm{sgn}(\sigma^{-1})$, 结合引理9.我们便得到
$$\begin{equation}D(v_{1},\ldots,v_{n}) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_{n}}\mathrm{sgn}(\sigma) a_{1,\sigma(1)}\cdots a_{n,\sigma(n)}D(e_{1},\ldots,e_{n}).\end{equation}$$
这样的计算将会帮助我们给出下面的结果，这也将揭示$\mathcal{D}_{V}$的特别之处。
设$V$为有限维$\mathbb{F}$-向量空间，则$\dim \mathcal{D}_{V} = 1$.
当$V$是零空间时，我们已经默认此时$\mathcal{D}_{V} = \mathbb{F}$, 所以只需要考虑$n := \dim V \geq 1$的情况。于是当我们选定$V$的一组基$e_{1},\ldots,e_{n}$时，从公式(7)我们考虑如下线性映射
$$\begin{split}\mathcal{D}_{V} &\to \mathbb{F} \\ D &\mapsto D(e_{1},\ldots,e_{n}).\end{split}$$
如果$D(e_{1},\ldots,e_{n}) = 0$, 则从公式(7)可知，此时对任意的$v_{1},\ldots,v_{n}$都有$D(v_{1},\ldots,v_{n}) = 0$, 于是$D = 0$, 即这是个单射，说明$\dim \mathcal{D}_{V}\leq \dim \mathbb{F} = 1$.
既然如此，我们需要做的就是证明$\mathcal{D}_{V}\backslash \{0\}$非空，即存在$D \in \mathcal{D}_{V} \backslash \{0\}$. 而受公式(7)的启发，我们可以考虑如下构造
$$D(v_{1},\ldots,v_{n}) := \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_{n}}\mathrm{sgn}(\sigma) a_{1,\sigma(1)}\cdots a_{n,\sigma(n)},$$
不难验证，这确实是一个交错形式，具体细节留作读者练习。特别地，简单计算可以发现$D(e_{1},\ldots,e_{n}) = 1$, 所以这确实是一个非零的交错形式。一般我们把如此构造的交错形式记为$D_{\mathrm{e}}$.
注意到，我们在命题10.的证明中构造的非零的交错形式$D_{\mathrm{e}}$是依赖于空间$V$的基的选取的，也就是说，当我们选取不同的基时，如此构造出来的交错形式总是不同的。但相对的，当我们预先选定某一组基后，一组线性无关向量组实际上是给出了另一组基，两组基之间的变换对应了一个线性映射（变换），而依据最先选定的基所构造出的非零交错形式$D_{\mathrm{e}}$此时给出了这个基变换所对应的一个值，即$\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_{n}}\mathrm{sgn}(\sigma) a_{1,\sigma(1)}\cdots a_{n,\sigma(n)}$, 这将我们为我们引出行列式的定义。
4.3、从交错形式到行列式
从前面的观察和计算，我们已经发现$\mathcal{D}_{V}$的特别之处，特别是当我们把一个将一组线性无关向量组看作是一个基变换，即一个线性变换时。这样的观察告诉我们，线性变换对交错形式的作用将会是得到行列式定义的最后一块拼图。
我们先从较为一般的情况开始考虑：对于有限维向量空间$V,W$和线性映射$T:V\to W$, 给定$m \in \mathbb{Z}_{\geq 1}$, 我们可以发现，交错形式$D\in \mathcal{D}_{W,m}$可以通过线性映射$T$变为$\mathcal{D}_{V,m}$中的交错形式，即
$$\begin{equation}\begin{split}V^{m} &\to \mathbb{F} \\ (v_{1},\ldots,v_{m}) &\mapsto D(Tv_{1},\ldots,Tv_{m}).\end{split}\end{equation}$$
我们称这样的作用为，由$T$诱导出映射
$$\begin{split}T^{\ast}: \mathcal{D}_{W,m} &\to \mathcal{D}_{V,m} \\ D &\mapsto T^{\ast}D\end{split}$$
其中$T^{\ast}D$即由公式(8)所给出的交错形式。不难验证，$T^{\ast}$还是一个线性映射。
那么我们现在取$V=W$和$m = n := \dim V$, 于是$T^{\ast}$便是一个从一个一维的向量空间$\mathcal{D}_{V}$映射到它自身上的线性映射，既然是线性映射，那这样的映射必然是$D\mapsto c\cdot D$这样的形式，其中$c\in \mathbb{F}$, 并且从前面的观察，我们可以认为，这样的$c$与给定的线性映射$T\in \mathrm{End}(V)$是对应的，而这样的对应与交错形式的选取是无关的，这便是我们所寻求的行列式。
设$V$是$n$维$\mathbb{F}$-向量空间，$n\in \mathbb{Z}_{\geq 1}$. 对每个$T\in \mathrm{End}(V)$定义$\det T\in \mathbb{F}$为使得下式成立的唯一元素：
$$T^{\ast}D = \det T \cdot D, \quad \forall D\in \mathcal{D}_{V}.$$
换言之，对每个$D\in \mathcal{D}_{V}$和$(v_{1},\ldots,v_{n})\in V^{n}$,
$$D(Tv_{1},\ldots,Tv_{n}) = \det T \cdot D(v_{1},\ldots,v_{n}).$$
特别地，当$n=0$即零空间的情况时，我们只有一种线性映射$T = 0_{V} = \mathrm{id}_{V}$, 于是可以规定$\det T := 1$.
因为行列式与交错形式的选取是无关的，所以我们总是可以选取$D_{\mathrm{e}}$并来计算行列式。
取定$n$维$\mathbb{F}$-向量空间$V$的一组基$e_{1},\ldots,e_{n}$, 并且取命题10.的证明中所构造的交错形式$D_{\mathrm{e}}\in \mathcal{D}_{V}$, 则
$$\det T = D_{\mathrm{e}}(Te_{1},\ldots,Te_{n}).$$
$\mathrm{End}(V)$实际上就是指线性映射空间$\mathrm{Hom}(V,V)$, 而记号$\mathrm{End}$取自英文单词$endomorphism$, 即自同态，在这里便是指从$V$到自身的线性映射。
4.4、矩阵的行列式
对于给定的域$\mathbb{F}$和$n\in \mathbb{Z}_{\geq 1}$, 空间$\mathbb{F}^{n}$已然构成了我们最熟悉的$n$维$\mathbb{F}$-向量空间。当我们取它的标准基作为空间的基时，我们便可以将一个矩阵$\mathbf{A} = (a_{ij})_{n\times n}\in \mathrm{M}_{n\times n}(\mathbb{F})$与一个线性映射$T\in \mathrm{End}(\mathbb{F}^{n})$相对应，通过如下方式对应：
$$\begin{split}T: \mathbb{F}^{n} &\to \mathbb{F}^{n} \\ v &\mapsto \mathbf{A}v . \end{split}$$
因此我们可以将矩阵$\mathbf{A}$直接看作$\mathrm{End}(\mathbb{F}^{n})$中的一个元素，于此我们便可以定义矩阵的行列式：
记$\mathrm{e}$为$\mathbb{F}^{n}$的标准基，$n\in \mathbb{Z}_{\geq 1}$. 定义矩阵$\mathbf{A} = (a_{ij})_{n\times n} \in \mathrm{M}_{n\times n}(\mathbb{F}^{n})$的行列式为
$$\begin{vmatrix}a_{11} &\cdots &a_{1n} \\ \vdots &\ddots &\vdots \\ a_{n1} &\cdots &a_{nn} \end{vmatrix}:= \det \mathbf{A} .$$
类似公式(7)的计算，我们有
$$\begin{split} \det \mathbf{A} &= D_{\mathrm{e}}(\mathbf{A}e_{1},\ldots,\mathbf{A}e_{n}) \\ &= \sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_{n}}\mathrm{sgn}(\sigma)a_{1,\sigma(1)}\cdots a_{n,\sigma(n)}. \end{split}$$
特别地，我们有如下的经典结论：
给定矩阵$\mathbf{A} = (a_{ij})_{n\times n} \in \mathrm{M}_{n\times n}(\mathbb{F}^{n})$, 有
$$\begin{split} \det \mathbf{A} &= \sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_{n}}\mathrm{sgn}(\sigma) a_{1,\sigma(1)}\cdots a_{n,\sigma(n)} \\ &= \sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_{n}}\mathrm{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1),1}\cdots a_{\sigma(n),n}. \end{split}$$
用矩阵的语言来说即是$\det \mathbf{A} = \det \mathbf{A}^{T}$, 其中$\mathbf{A}^{T}$表示矩阵$\mathbf{A}$的转置。
注意到既然置换$\sigma\in \mathfrak{S}_{n}$是集合$\{1,2,\ldots,n\}$的重排，那么我们可以将$a_{1,\sigma(1)}\cdots a_{n,\sigma(n)}$进行重排，便得到
$$a_{1,\sigma(1)}\cdots a_{n,\sigma(n)} = a_{\sigma^{-1}(1),1}\cdots a_{\sigma^{-1}(n),n}.$$
而$\mathrm{sgn}(\sigma) = \mathrm{sgn}(\sigma^{-1})$, 于是得到
$$\begin{split} \sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_{n}}\mathrm{sgn}(\sigma)a_{1,\sigma(1)}\cdots a_{n,\sigma(n)} &= \sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_{n}}\mathrm{sgn}(\sigma)a_{\sigma^{-1}(1),1}\cdots a_{\sigma^{-1}(n),n} \\ &= \sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_{n}}\mathrm{sgn}(\sigma^{-1})a_{\sigma^{-1}(1),1}\cdots a_{\sigma^{-1}(n),n} \\ &= \sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_{n}}\mathrm{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1),1}\cdots a_{\sigma(n),n}. \end{split}$$
回顾起初的几何动机，即空间里的有向面积、体积，我们本以为行列式是某个交错形式，但随着研究的深入，我们终于发现行列式不止如此，还是交错形式在线性变换的作用下的一个常数，这个常数也与我们最初的观察相符合，即有向面积、体积的对应的值。比如说，考虑二维平面上的情况，一对向量实际上可以理解成基向量$(1,0)^{T},(0,1)^{T}$所给出的线性映射，而这对向量构成的平行四边形的面积便告诉了我们，这个线性映射如何按照面积，成比例的对向量进行作用。这便是对行列式的一种几何诠释，而这样的解释实际上也让行列式在多重积分的变量替换公式中自然地出现。
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